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—  LEYES Y FÓRMULAS FÍSICAS  —

Cálculo Vectorial

1- Introducción: magnitudes físicas, clasificación

2- Concepto de vector

3- Coordenadas cartesianas o componentes de un vector

4- Clasificación de vectores

5- Vectores unitarios

6- Operaciones geométricas de vectores

6.1- Suma y resta geométrica de vectores

6.2- Definición geométrica del producto de un escalar por un vector

6.3- Definición geométrica del producto escalar de dos vectores

6.4- Definición geométrica del producto vectorial de dos vectores

6.5- Definición geométrica del producto mixto de tres vectores

7- Operaciones analíticas de vectores

7.1- Suma y resta analítica de vectores

7.2- Definición analítica del producto de un escalar por un vector

7.3- Definición analítica del producto escalar de dos vectores

7.4- Definición analítica del producto vectorial de dos vectores

7.5- Definición analítica del producto mixto de tres vectores

7.6- Derivada de un vector

8- Momento de un vector

9- Momento de un par de vectores


DESARROLLO DEL CONTENIDO


1- Introducción: magnitudes físicas, clasificación

Una magnitud física es toda aquella propiedad o cualidad medible de un cuerpo o sistema físico, es decir, que se puede expresar mediante una cantidad o valor numérico y su correspondiente unidad.

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en Magnitudes físicas fundamentales y Magnitudes físicas derivadas.

-  Magnitudes físicas fundamentales: son aquellas magnitudes físicas que han sido elegidas por convención, y que permiten expresar cualquier otra magnitud física en términos de ellas. Por tanto, sólo las magnitudes físicas fundamentales se pueden definir sin hacer uso de ninguna otra magnitud física.

Las magnitudes físicas fundamentales son siete: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de materia.

Las magnitudes físicas fundamentales se complementan con dos magnitudes físicas más, denominadas suplementarias, y que son: el ángulo plano y el ángulo sólido.

Para definir las magnitudes físicas, sean del tipo que sean, es necesario referirlas a un determinado sistema de unidades o sistema de medidas. El más ampliamente empleado por la comunidad científica mundial es el Sistema Internacional de Unidades (SI).

El Sistema Internacional de Unidades (SI) consta de siete unidades fundamentales, también denominadas unidades básicas, que se utilizan para definir a las correspondientes magnitudes físicas fundamentales.

En la tabla siguiente se recogen las magnitudes físicas fundamentales y las suplementarias, y sus correspondientes unidades expresadas en el Sistema Internacional de Unidades (SI):

Magnitudes Físicas Fundamentales y sus unidades en el SI

Magnitud

Unidad de Medida (SI)

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Temperatura

grado Kelvin

K

Intensidad de corriente eléctrica

amperio

A

Intendidad luminosa

candela

Cd

Cantidad de materia

mol

mol

Magnitudes Físicas Suplementarias y sus unidades en el SI

Ángulo plano

radián

rad

Ángulo sólido

estereorradián

sr


 

-  Magnitudes físicas derivadas: son las demás magnitudes físicas, que pueden ser obtenidas por combinación o a partir de las magnitudes físicas fundamentales. Igualmente, para su completa definición es necesario elegir un sistema de unidades. El más ampliamente empleado es, como el caso anterior, el Sistema Internacional de Unidades (SI).

En el siguiente enlace se puede consultar la definición de las magnitudes físicas, tanto fundamentales como derivadas, expresadas en el Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI), y sus equivalencias con otros sistemas de medida.

>>   Sistema Internacional de Unidades de Medida (S.I.)

Además de la clasificación anterior, las magnitudes físicas también se pueden clasificar en Magnitudes físicas escalares y Magnitudes físicas vectoriales.

-  Magnitudes físicas escalares: son aquellas magnitudes físicas que quedan perfectamente determinadas mediante una cantidad y su correspondiente unidad. Ejemplos de magnitudes físicas escalares son la masa, temperatura, superficie, volumen, densidad, trabajo, etc.

-  Magnitudes físicas vectoriales: son aquellas magnitudes físicas que para quedar perfectamente definidas no basta con dar sólo la cantidad y su unidad, sino que es necesario saber también la dirección y el sentido de actuación. Ejemplos de magnitudes físicas vectoriales son la posición, velocidad, aceleración, fuerza, cantidad de movimiento, etc.

2- Concepto de vector

Un vector es la representación matemática y gráfica de una magnitud vectorial. Consiste básicamente en una flecha o segmento rectilíneo orientado, es decir, con una determinada longitud, dirección y sentido, y que contiene toda la información de la magnitud que se está midiendo.

Por tanto, todas las magnitudes físicas vectoriales se pueden representar gráficamente mediante vectores. Simbólicamente se representan con una letra que simboliza a la magnitud física con una flecha encima.

Vector

Las componentes de un vector son:

•  Módulo: es la longitud del vector, es decir, el tamaño del segmento desde su origen hasta su extremo, y define al valor numérico de la magnitud física (cantidad + unidades). Se representa con la letra del vector y la flecha entre barras  / v /, o simplemente  v.

•  Dirección: es la recta que contiene al vector, también conocida como recta soporte, y que es lógicamente paralela al vector.

•  Sentido: viene dado por la flecha del extremo del vector. Sobre una misma dirección, habrá dos direcciones posibles, una positiva y otra negativa, según el criterio de signos establecido previamente.

3- Coordenadas cartesianas o componentes de un vector

Previamente a la definición de las coordenas de un vector es necesario definir un sistema de coordenas de referencia o sistema de coordenadas cartesianos. Un sistema de coordenadas cartesiano está formado por tres rectas perpendiculares entre sí, llamados ejes de coordenadas cartesianos, que se cortan en un punto “O” que es el origen de coordenadas. Los tres ejes son el “eje X”, el “eje Y” y el “eje Z”.

Ejes de coordenadas cartesianos

Pues bien, se llama componente de un vector en una dirección dada genérica, a la proyección de dicho vector sobre esa dirección. Particularmente se estudia las proyecciones de un vector sobre los ejes de coordenadas cartesianos.

En efecto, si en cada uno de los ejes cartesianos se define un vector unitario (de módulo la unidad) y de sentido positivo en cada eje (son los vectores  i , j  y  k ), cualquier vector  r  del espacio puede expresarse como una combinacion lineal de los vectores  i , j  y  k ), como puede verse en el siguiente dibujo.

Componentes de un vector

Pues bien, a la siguiente expresión del vector r  se le denomina expresión analítica o expresión vectorial del vector r.

r  = x·i  + y·j  + z·k ,  o bien simplemente en la forma  r = (x,y,z)

A los escalares  x, y, z  se les denomina COORDENADAS CARTESIANAS O COMPONENTES CARTESIANAS DEL VECTOR.

De lo dicho anteriormente, se puede deducir lo siguiente:

1º)  Cuando la dirección de un vector es paralela a uno de los tres ejes de coordenadas, entonces el vector tiene solamente una coordenada distinta de cero (aquella que corresponde al eje respecto al cual es paralelo), siendo nulas las demás coordenadas. Además, la coordenada no nula será positiva si el sentido del vector coincide con el sentido positivo del eje y negativa si el vector tiene sentido contrario al eje.

Por ejemplo, si un coche se mueve horizontalmente hacia la derecha  (→)  con una velocidad de 10 m/s, la expresión analítica de su vector velocidad sería la siguiente:

v  = 10·i m/s = 10·i  + 0·j  + 0·k m/s = (10,0,0) m/s, es decir, dirección horizontal, sentido hacia la derecha y módulo 10 m/s.

2º)  Si un vector está contenido en el plano XY y su dirección no coincide con ninguno de los dos ejes, entonces el vector tendrá las dos primeras componentes distintas de cero y la tercera componente (la correspondiente al eje Z) igual a cero.

Por ejemplo, supongamos que se dispara un proyectil con una velocidad de 10 m/s formando un ángulo de 45º con la parte positiva del eje x. La representación gráfica en los ejes de coordenadas del plano XY sería la siguiente:

Componentes de un vector

La expresión analítica del vector  v  velocidad sería:

v  = vx·i  + vy·j   donde  vx  y  vy  son las componentes del vector velocidad sobre los ejes X e Y, respectivamente.

Haciendo uso de las reglas de trigonometría, el valor de cada una de las componentes del vector velocidad sobre los ejes de coordenadas se puede expresar como:

vx = / v /·cos45º  = 10·cos45º = 5· 2 m/s.

vy = / v /·sen45º  = 10·sen45º = 5· 2 m/s.

Luego, finalmente la expresión analítica del vector velocidad  v  quedaría como sigue:

v  = 5 2 i  + 5 2 j  m/s = 5 2 i  + 5 2 j + 0 k  m/s

Por lo tanto, y en resumen, la forma general de calcular las coordenadas de un vector  v  cualquiera en el plano XY, aplicando la trigonometría es:

v  = vx·i  + vy·j

donde las respectivas componentes del vector sobre los ejes X e Y se calculan como:

vx = / v / · cosα

vy = / v / · senα

Siendo α el ángulo que forma el semieje positivo de las x con el vector, denominándose ángulo director del vector. El signo del seno y el coseno de este ángulo va a proporcionar finalmente el signo de las coordenadas del vector.

Componentes de un vector y ángulo director

3º)  Si el vector está contenido en los planos XZ ó YZ, siempre habrá una coordenada nula: la coordenada “y” en el primer caso, y la coordenada “x” en el segundo.

4º)  Cuando el vector no coincida con ninguno de los ejes, ni con los planos XY, XZ ó YZ, entonces las tres coordenadas del vector serán distintas de cero.

En efecto, sea un vector r  con las tres coordenadas distintas de cero, expresándose genéricamente de la forma:

r  = x·i  + y·j  + z·k

Componentes de un vector

Pues bien se llaman cosenos directores de un vector respecto de un sistema de coordenadas ortogonales, a los cosenos de los ángulos (α, β, γ) que forma el vector con el sentido positivo de cada uno de los ejes coordenados.

De esta manera, los ángulos del vector r  de componentes (x, y, z) con los ejes de coordenadas cartesianas  X, Y, Z  son respectivamente  α, β, γ. Haciendo uso de las reglas de trigonometría, el valor de los cosenos directores se expresa como:

 

 x 

 

cos α =  


 

 

 r 

 


 

 y 

 

cos β =  


 

 

 r 

 


 

 z 

 

cos γ =  


 

 

 r 

 


donde  r  es el módulo del vector r.  Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede calcular el módulo del vector  r  a partir de sus componentes como:

 r  =  x2 + y2 + z2.

Por lo tanto, elevando al cuadrado los cosenos directores, se puede comprobar que se cumple que:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

4- Clasificación de vectores

En este apartado se estudiarán los distintos tipos de vectores que podemos encontrar. Así, según los criterios que se empleen se puede atender a la siguiente clasificación de vectores:

•  Vectores equipolentes: son aquellos vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido. A los vectores que tiene el mismo módulo, dirección y sentido también se dicen que son iguales. Dos vectores con el mismo módulo y sentido, y actuando sobre rectas distintas, pueden ser vectores iguales, siempre que las rectas sobre las que actúen sean paralelas.

Clasificación de vectores

Estas condiciones de equipolencia permiten a su vez clasificar los vectores equipolentes en tres clases o categorías:

- Vectores libres: en este caso, dos o más vectores equipolentes son libres si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque sus rectas de acción (directrices) sean diferentes.

En la figura adjunta son libres los vectores equipolentes  AB , CD , EF , GH .

- Vectores deslizantes: aquellos vectores equipolentes, que actuando sobre una misma recta directriz, el punto de aplicación sobre la recta puede ser diferente. Reciben esta denominación de "deslizante" porque los vectores pueden deslizar a lo largo de su recta de acción sin cambiar los efectos asociados a la magnitud física que representan.

En la figura adjunta, tan sólo son vectores deslizantes los vectores  CD  y  EF .

- Vectores ligados: en este último caso las condiciones de equipolencia son aún más restrictivas, ya que imponen que los vectores tengan el mismo módulo, mismo sentido y estén aplicados en un mismo punto sobre la misma recta (recta directriz).

•  Vectores libres: al conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir, los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido. En la figura, son vectores libres u , v , w .

•  Vectores fijos: un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen. Por ejemplo, el vector   AB , que tiene origen en el punto "A" y extremo en el punto "B".

•  Vectores coplanares: dos o más vectores serán coplanares si se encuentran en un mismo plano.

En la figura adjunta, son vectores coplanares los vectores a , b , c  por estar contenidos en el mismo plano π.

•  Vectores concurrentes: vectores concurrentes son aquellos que tienen el mismo origen. Por tanto, los vectores concurrentes se caracterizan porque sus rectas de acción se cortan en un mismo punto, que coincide con el origen de aplicación de todos ellos.

•  Vectores colineales: son vectores colineales entre sí todos aquellos vectores que son paralelos a una misma recta. En la figura adjunta, los vectores d , e , f , g  y h , son todos colineales entre sí al ser todos paralelos, aunque sus módulos o sentidos sean distintos.

•  Vectores codirigidos: son aquellos vectores que siendo paralelos, además tienen el mismo sentido. En la figura adjunta, los vectores codirigidos serían los vectores d , e , f  y g , al ser todos paralelos y tener el mismo sentido, aunque sus módulos puedan ser distintos.

•  Vectores contrariamente dirigidos: son vectores que, además de ser paralelos, tienen sentidos opuestos. En este caso, los vectores g y h , son vectores contrariamente dirigidos al ser vectores paralelos y con sentidos opuestos, pudiendo ser sus módulos distintos.

•  Vectores opuestos: en este caso, los vectores opuestos tienen el mismo módulo, la misma dirección y distinto sentido.

•  Vectores unitarios: los vectores se dicen untario si su módulo vale la unidad, es decir,  / v / = 1.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, se divide éste por su módulo.

•  Vector posición: en la figura que se adjunta, el vector vector OP  que une el origen de coordenadas "O" con un punto "P" se llama vector de posición del punto "P".

•  Vectores ortogonales: se dice que dos vectores son ortogonales o perpendiculares, si su producto escalar es cero. Aunque el concepto de "producto escalar" se explicará más adelante, se adelanta aquí su expresión matemática para el caso de dos vectores en el plano XY bidimensional:

Dos vectores, u  y  v , son ortogonales si su producto escalar es cero, es decir, si se cumple que  u · v  = 0

Expresando los vectores, u  y  v  en función de sus componentes en el plano XY:

u = ux·i  + uy·j        v = vx·i  + vy·j

El producto escalar de los dos vectores ortogonales quedaría como:

u · v  = ux·vx + uy·vy = 0

•  Vectores ortonormales: dos vectores serán ortonormales si, su producto escalar es cero (es decir, son ortogonales) y además, los dos vectores son unitarios.

Además de los anteriores tipos, atendiendo a otro criterio de clasificación se puede distinguir entre:

•  Vectores linealmente independientes: un conjunto de vectores se dice que son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito como una combinación lineal de los restantes.

Es decir, dado un conjunto finito de vectores (v1 , v2 , v3 , ..., vn ), se dice que estos vectores son linealmente independientes si existen una serie de coeficientes numéricos (a1, a2, a3, ..., an), donde la relación siguiente:

v1 · a1 + v2 · a2 + v3 · a3 + ...+ vn · an = 0,

se satisface únicamente cuando los coeficientes  a1, a2, a3, ..., an  son todos iguales a cero.

En caso contrario, es decir, que la relación anterior se cumple para algún valor de los coeficientes (a1, a2, a3, ..., an) distinto de cero, entonces se dice que son linealmente dependientes.

 

 

 

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