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—  LEYES Y FÓRMULAS FÍSICAS  —

Cálculo Vectorial

1- Introducción: magnitudes físicas, clasificación

2- Concepto de vector

3- Coordenadas cartesianas o componentes de un vector

4- Clasificación de vectores

5- Vector unitario

6- Base vectorial

6.1- Definición

6.2- Base ortogonal

6.3- Base ortonormal

7- Operaciones con vectores

7.1- Suma y resta de vectores

7.2- Producto de un escalar por un vector

7.3- Producto escalar de dos vectores

7.4- Producto vectorial de dos vectores

7.5- Producto mixto de tres vectores

7.6- Derivada de un vector

8- Momento de un vector

8.1- Momento de un vector respecto a un punto

8.2- Momento de un vector respecto a un eje

9- Momento de un par de vectores


DESARROLLO DEL CONTENIDO


1- Introducción: magnitudes físicas, clasificación

Una magnitud física es toda aquella propiedad o cualidad medible de un cuerpo o sistema físico, es decir, que se puede expresar mediante una cantidad o valor numérico y su correspondiente unidad.

Las magnitudes físicas se pueden clasificar en Magnitudes físicas fundamentales y Magnitudes físicas derivadas.

-  Magnitudes físicas fundamentales: son aquellas magnitudes físicas que han sido elegidas por convención, y que permiten expresar cualquier otra magnitud física en términos de ellas. Por tanto, sólo las magnitudes físicas fundamentales se pueden definir sin hacer uso de ninguna otra magnitud física.

Las magnitudes físicas fundamentales son siete: longitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad de corriente eléctrica, intensidad luminosa y cantidad de materia.

Las magnitudes físicas fundamentales se complementan con dos magnitudes físicas más, denominadas suplementarias, y que son: el ángulo plano y el ángulo sólido.

Para definir las magnitudes físicas, sean del tipo que sean, es necesario referirlas a un determinado sistema de unidades o sistema de medidas. El más ampliamente empleado por la comunidad científica mundial es el Sistema Internacional de Unidades (SI).

El Sistema Internacional de Unidades (SI) consta de siete unidades fundamentales, también denominadas unidades básicas, que se utilizan para definir a las correspondientes magnitudes físicas fundamentales.

En la tabla siguiente se recogen las magnitudes físicas fundamentales y las suplementarias, y sus correspondientes unidades expresadas en el Sistema Internacional de Unidades (SI):

Magnitudes Físicas Fundamentales y sus unidades en el SI

Magnitud

Unidad de Medida (SI)

Símbolo

Longitud

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

Temperatura

grado Kelvin

K

Intensidad de corriente eléctrica

amperio

A

Intendidad luminosa

candela

Cd

Cantidad de materia

mol

mol

Magnitudes Físicas Suplementarias y sus unidades en el SI

Ángulo plano

radián

rad

Ángulo sólido

estereorradián

sr


 

-  Magnitudes físicas derivadas: son las demás magnitudes físicas, que pueden ser obtenidas por combinación o a partir de las magnitudes físicas fundamentales. Igualmente, para su completa definición es necesario elegir un sistema de unidades. El más ampliamente empleado es, como el caso anterior, el Sistema Internacional de Unidades (SI).

En el siguiente enlace se puede consultar la definición de las magnitudes físicas, tanto fundamentales como derivadas, expresadas en el Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI), y sus equivalencias con otros sistemas de medida.

>>   Sistema Internacional de Unidades de Medida (S.I.)

Además de la clasificación anterior, las magnitudes físicas también se pueden clasificar en Magnitudes físicas escalares y Magnitudes físicas vectoriales.

-  Magnitudes físicas escalares: son aquellas magnitudes físicas que quedan perfectamente determinadas mediante una cantidad y su correspondiente unidad. Ejemplos de magnitudes físicas escalares son la masa, temperatura, superficie, volumen, densidad, trabajo, etc.

-  Magnitudes físicas vectoriales: son aquellas magnitudes físicas que para quedar perfectamente definidas no basta con dar sólo la cantidad y su unidad, sino que es necesario saber también la dirección y el sentido de actuación. Ejemplos de magnitudes físicas vectoriales son la posición, velocidad, aceleración, fuerza, cantidad de movimiento, etc.

2- Concepto de vector

Un vector es la representación matemática y gráfica de una magnitud vectorial. Consiste básicamente en una flecha o segmento rectilíneo orientado, es decir, con una determinada longitud, dirección y sentido, y que contiene toda la información de la magnitud que se está midiendo.

Por tanto, todas las magnitudes físicas vectoriales se pueden representar gráficamente mediante vectores. Simbólicamente se representan con una letra que simboliza a la magnitud física con una flecha encima.

Vector

Las componentes de un vector son:

•  Módulo: es la longitud del vector, es decir, el tamaño del segmento desde su origen hasta su extremo, y define al valor numérico de la magnitud física (cantidad + unidades). Se representa con la letra del vector y la flecha entre barras  / v /, o simplemente  v.

•  Dirección: es la recta que contiene al vector, también conocida como recta soporte, y que es lógicamente paralela al vector.

•  Sentido: viene dado por la flecha del extremo del vector. Sobre una misma dirección, habrá dos direcciones posibles, una positiva y otra negativa, según el criterio de signos establecido previamente.

3- Coordenadas cartesianas o componentes de un vector

Previamente a la definición de las coordenas de un vector es necesario definir un sistema de coordenas de referencia o sistema de coordenadas cartesianos. Un sistema de coordenadas cartesiano está formado por tres rectas perpendiculares entre sí, llamados ejes de coordenadas cartesianos, que se cortan en un punto “O” que es el origen de coordenadas. Los tres ejes son el “eje X”, el “eje Y” y el “eje Z”.

Ejes de coordenadas cartesianos

Pues bien, se llama componente de un vector en una dirección dada genérica, a la proyección de dicho vector sobre esa dirección. Particularmente se estudia las proyecciones de un vector sobre los ejes de coordenadas cartesianos.

En efecto, si en cada uno de los ejes cartesianos se define un vector unitario (de módulo la unidad) y de sentido positivo en cada eje (son los vectores  i , j  y  k ), cualquier vector  r  del espacio puede expresarse como una combinacion lineal de los vectores  i , j  y  k ), como puede verse en el siguiente dibujo.

Componentes de un vector

Pues bien, a la siguiente expresión del vector r  se le denomina expresión analítica o expresión vectorial del vector r.

r  = x·i  + y·j  + z·k ,  o bien simplemente en la forma  r = (x,y,z)

A los escalares  x, y, z  se les denomina COORDENADAS CARTESIANAS O COMPONENTES CARTESIANAS DEL VECTOR.

De lo dicho anteriormente, se puede deducir lo siguiente:

1º)  Cuando la dirección de un vector es paralela a uno de los tres ejes de coordenadas, entonces el vector tiene solamente una coordenada distinta de cero (aquella que corresponde al eje respecto al cual es paralelo), siendo nulas las demás coordenadas. Además, la coordenada no nula será positiva si el sentido del vector coincide con el sentido positivo del eje y negativa si el vector tiene sentido contrario al eje.

Por ejemplo, si un coche se mueve horizontalmente hacia la derecha  (→)  con una velocidad de 10 m/s, la expresión analítica de su vector velocidad sería la siguiente:

v  = 10·i m/s = 10·i  + 0·j  + 0·k m/s = (10,0,0) m/s, es decir, dirección horizontal, sentido hacia la derecha y módulo 10 m/s.

2º)  Si un vector está contenido en el plano XY y su dirección no coincide con ninguno de los dos ejes, entonces el vector tendrá las dos primeras componentes distintas de cero y la tercera componente (la correspondiente al eje Z) igual a cero.

Por ejemplo, supongamos que se dispara un proyectil con una velocidad de 10 m/s formando un ángulo de 45º con la parte positiva del eje x. La representación gráfica en los ejes de coordenadas del plano XY sería la siguiente:

Componentes de un vector

La expresión analítica del vector  v  velocidad sería:

v  = vx·i  + vy·j   donde  vx  y  vy  son las componentes del vector velocidad sobre los ejes X e Y, respectivamente.

Haciendo uso de las reglas de trigonometría, el valor de cada una de las componentes del vector velocidad sobre los ejes de coordenadas se puede expresar como:

vx = / v /·cos45º  = 10·cos45º = 5· 2 m/s.

vy = / v /·sen45º  = 10·sen45º = 5· 2 m/s.

Luego, finalmente la expresión analítica del vector velocidad  v  quedaría como sigue:

v  = 5 2 i  + 5 2 j  m/s = 5 2 i  + 5 2 j + 0 k  m/s

Por lo tanto, y en resumen, la forma general de calcular las coordenadas de un vector  v  cualquiera en el plano XY, aplicando la trigonometría es:

v  = vx·i  + vy·j

donde las respectivas componentes del vector sobre los ejes X e Y se calculan como:

vx = / v / · cosα

vy = / v / · senα

Siendo α el ángulo que forma el semieje positivo de las x con el vector, denominándose ángulo director del vector. El signo del seno y el coseno de este ángulo va a proporcionar finalmente el signo de las coordenadas del vector.

Componentes de un vector y ángulo director

3º)  Si el vector está contenido en los planos XZ ó YZ, siempre habrá una coordenada nula: la coordenada “y” en el primer caso, y la coordenada “x” en el segundo.

4º)  Cuando el vector no coincida con ninguno de los ejes, ni con los planos XY, XZ ó YZ, entonces las tres coordenadas del vector serán distintas de cero.

En efecto, sea un vector r  con las tres coordenadas distintas de cero, expresándose genéricamente de la forma:

r  = x·i  + y·j  + z·k

Componentes de un vector

Pues bien se llaman cosenos directores de un vector respecto de un sistema de coordenadas ortogonales, a los cosenos de los ángulos (α, β, γ) que forma el vector con el sentido positivo de cada uno de los ejes coordenados.

De esta manera, los ángulos del vector r  de componentes (x, y, z) con los ejes de coordenadas cartesianas  X, Y, Z  son respectivamente  α, β, γ. Haciendo uso de las reglas de trigonometría, el valor de los cosenos directores se expresa como:

 

 x 

 

cos α =  


 

 

 r 

 


 

 y 

 

cos β =  


 

 

 r 

 


 

 z 

 

cos γ =  


 

 

 r 

 


donde  r  es el módulo del vector r.  Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede calcular el módulo del vector  r  a partir de sus componentes como:

 r  =  x2 + y2 + z2.

Por lo tanto, elevando al cuadrado los cosenos directores, se puede comprobar que se cumple que:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

4- Clasificación de vectores

En este apartado se estudiarán los distintos tipos de vectores que podemos encontrar. Así, según los criterios que se empleen se puede atender a la siguiente clasificación de vectores:

•  Vectores equipolentes: son aquellos vectores que tienen igual módulo, dirección y sentido. A los vectores que tiene el mismo módulo, dirección y sentido también se dicen que son iguales. Dos vectores con el mismo módulo y sentido, y actuando sobre rectas distintas, pueden ser vectores iguales, siempre que las rectas sobre las que actúen sean paralelas.

Clasificación de vectores

Estas condiciones de equipolencia permiten a su vez clasificar los vectores equipolentes en tres clases o categorías:

- Vectores libres: en este caso, dos o más vectores equipolentes son libres si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque sus rectas de acción (directrices) sean diferentes.

En la figura adjunta son libres los vectores equipolentes  AB , CD , EF , GH .

- Vectores deslizantes: aquellos vectores equipolentes, que actuando sobre una misma recta directriz, el punto de aplicación sobre la recta puede ser diferente. Reciben esta denominación de "deslizante" porque los vectores pueden deslizar a lo largo de su recta de acción sin cambiar los efectos asociados a la magnitud física que representan.

En la figura adjunta, tan sólo son vectores deslizantes los vectores  CD  y  EF .

- Vectores ligados: en este último caso las condiciones de equipolencia son aún más restrictivas, ya que imponen que los vectores tengan el mismo módulo, mismo sentido y estén aplicados en un mismo punto sobre la misma recta (recta directriz).

•  Vectores libres: al conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir, los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido. En la figura, son vectores libres u , v , w .

•  Vectores fijos: un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen. Por ejemplo, el vector   AB , que tiene origen en el punto "A" y extremo en el punto "B".

•  Vectores coplanares: dos o más vectores serán coplanares si se encuentran en un mismo plano.

En la figura adjunta, son vectores coplanares los vectores a , b , c  por estar contenidos en el mismo plano π.

•  Vectores concurrentes: vectores concurrentes son aquellos que tienen el mismo origen. Por tanto, los vectores concurrentes se caracterizan porque sus rectas de acción se cortan en un mismo punto, que coincide con el origen de aplicación de todos ellos.

•  Vectores colineales: son vectores colineales entre sí todos aquellos vectores que son paralelos a una misma recta. En la figura adjunta, los vectores d , e , f , g  y h , son todos colineales entre sí al ser todos paralelos, aunque sus módulos o sentidos sean distintos.

•  Vectores codirigidos: son aquellos vectores que siendo paralelos, además tienen el mismo sentido. En la figura adjunta, los vectores codirigidos serían los vectores d , e , f  y g , al ser todos paralelos y tener el mismo sentido, aunque sus módulos puedan ser distintos.

•  Vectores contrariamente dirigidos: son vectores que, además de ser paralelos, tienen sentidos opuestos. En este caso, los vectores g y h , son vectores contrariamente dirigidos al ser vectores paralelos y con sentidos opuestos, pudiendo ser sus módulos distintos.

•  Vectores opuestos: en este caso, los vectores opuestos tienen el mismo módulo, la misma dirección y distinto sentido.

•  Vectores unitarios: los vectores se dicen untario si su módulo vale la unidad, es decir,  / v / = 1.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, se divide éste por su módulo.

•  Vector posición: en la figura que se adjunta, el vector vector OP  que une el origen de coordenadas "O" con un punto "P" se llama vector de posición del punto "P".

•  Vectores ortogonales: se dice que dos vectores son ortogonales o perpendiculares, si su producto escalar es cero. Aunque el concepto de "producto escalar" se explicará más adelante, se adelanta aquí su expresión matemática para el caso de dos vectores en el plano XY bidimensional:

Dos vectores, u  y  v , son ortogonales si su producto escalar es cero, es decir, si se cumple que  u · v  = 0

Expresando los vectores, u  y  v  en función de sus componentes en el plano XY:

u = ux·i  + uy·j        v = vx·i  + vy·j

El producto escalar de los dos vectores ortogonales quedaría como:

u · v  = ux·vx + uy·vy = 0

•  Vectores ortonormales: dos vectores serán ortonormales si, su producto escalar es cero (es decir, son ortogonales) y además, los dos vectores son unitarios.

Además de los anteriores tipos, atendiendo a otro criterio de clasificación se puede distinguir entre:

•  Vectores linealmente independientes: un conjunto de vectores se dice que son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito como una combinación lineal de los restantes.

Es decir, dado un conjunto finito de vectores (v1 , v2 , v3 , ..., vn ), se dice que estos vectores son linealmente independientes si existen una serie de coeficientes numéricos (a1, a2, a3, ..., an), donde la relación siguiente:

v1 · a1 + v2 · a2 + v3 · a3 + ...+ vn · an = 0,

se satisface únicamente cuando los coeficientes  a1, a2, a3, ..., an  son todos iguales a cero.

En caso contrario, es decir, que la relación anterior se cumple para algún valor de los coeficientes (a1, a2, a3, ..., an) distinto de cero, entonces se dice que son linealmente dependientes.

5- Vector unitario

Un vector  v  es unitario cuando su módulo vale la unidad ( / v / = 1 ). Así, dado un vector  v  cualquiera que no fuese unitario y distinto de cero, siempre se puede calcular dos vectores unitarios de la misma dirección de  v  , uno en el mismo sentido y otro en sentido contrario.

Por ejemplo, dado un vector  v  cualquiera que no fuese unitario, se va a indicar cómo calcular un vector unitario que esté en su misma dirección, y que se llamará  uv 

Para ello, bastará con multiplicar al vector  v  por la inversa de su módulo  / v /  para obtener un vector unitario en su misma dirección y sentido, o bien cambiar de signo dicho producto para obtener un vector unitario en sentido contrario.

En efecto, la expresión analítica de un vector  v  cualquiera en el espacio 3D sería:

v  = vx·i  + vy·j  + vz·k     donde   vx    vy    vz   son las componentes del vector sobre los ejes X, Y, Z, respectivamente.

Como se ha visto, aplicando el teorema de Pitágoras se puede calcular el módulo del vector  v  a partir de sus componentes como:

/ v /  =  vx2 + vy2 + vz2.

Dividiendo el vector  v  por su módulo, se obtendría por tanto un vector unitario en su misma dirección y sentido:

 

 v 

 

uv  =  


 

 

 / v / 

 


Como ya se indicó anteriormente en el apartado 2 de este tutorial, por comodidad en la escritura, el módulo  / v /, también se puede indicar de manera simplificada como  v .

De esta manera, la expresión analítica del vector unitario  uv  quedaría como:

uv  = vx / v ·i  + vy / v ·j  + vz / v ·k

Para obtener otro vector unitario en la misma dirección, pero de sentido contrario al vector  v  , entonces habría que dividir por su módulo pero con el signo cambiado:

 

 v 

 

uv  =  − 


 

 

 / v / 

 


Así, la expresión analítica del nuevo vector unitario  uv  con sentido contrario al vector   v  quedaría como:

uv  = − ( vx / v ·i  + vy / v ·j  + vz / v ·k )

Donde se puede comprobar que efectivamente el módulo del vector  uv  es igual a la unidad  ( / uv /  = 1 ).

Vector unitario

•  Ejemplo:  Se procede a calcular el vector unitario de un vector  v  de corrodenadas,  v  = 2·i + 3·j  + 6·k

En primer lugar se calcula el módulo del vector  v  a partir de la expresión ya vista en apartados anteriores:

/ v /  =  vx2 + vy2 + vz2  =  22 + 32 + 62  =  49  = 7

A continuación se divide las coordenadas del vector  v  por su módulo, obteniéndose así un vector unitario que tendría su misma dirección y sentido:

 

 v 

 

uv  =  


 

 

 / v / 

 


Que sustituyendo valores en la expresión analítica se obtienen las coordenadas del vector unitario  uv  buscado:

uv  = 2/7 ·i  + 3/7 ·j  + 6/7 ·k

Se puede comprobar que el módulo del vector  uv  obtenido tiene de valor la unidad  ( / uv /  = 1 ).

Para ello habrá que calcular el módulo del vector  uv  a partir del valor de sus coordenadas:

/ uv /  =  uvx2 + uvy2 + uvz2  =  (2/7)2 + (3/7)2 + (6/7)2  =  4/49 + 9/49 + 36/49  =  49/49  = 1

6- Base vectorial

6.1- Definición

Una base vectorial es un conjunto de vectores que son linealmente independientes y que a partir de ellos es posible expresar cualquier otro vector del espacio que se esté considerado, que puede ser en el plano (2D) o en el espacio (3D).

Si se considera el espacio en el plano (2D) una base estará formada por dos vectores linealmente independientes, mientras que si se trabaja en el espacio 3D una base vectorial deberá estar formada por tres vectores linealmente independientes.

Las coordenadas de un vector respecto de una base considerada son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base para generar al vector considerado, de manera que éste se expresa como una combinación lineal de los vectores de la base.

Base vectorial

En la anterior figura se ha representado el espacio plano 2D. En este caso, los vectores  u  y  v  forman una base de este espacio, dado que cualquier otro vector  x  del espacio plano puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores de la base, siendo los escalares "a" y "b" las coordenadas del vector respecto a esa base.

 

6.2- Base ortogonal

Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando, además de cumplir con los requisitos para ser una base vectorial, los vectores que la forman son además perpendiculares entre sí.

Recordemos del apartado anterior que los requisitos para que un conjunto de vectores pueda ser considerado una base vectorial es que sean linealmente independientes y formen un sistema generador, es decir, que cualquier vector del espacio vectorial pueda ser expresado en función o como combinación lineal de los vectores de la base.

Por tanto, el requisito adicional de una base ortogonal es que los vectores que forman la base sean perpendiculares entre sí.

 

6.3- Base ortonormal

Por último, una base vectorial es ortonormal cuando los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen de módulo la unidad.

Base vectorial ortonormal

Un caso particular de base ortonormal para los ejes coordenados X, Y, Z, la forman los vectores que suelen designarse por las letras   i ,   j ,   k .

Como estos vectores forman una base ortonormal, además de ser perpendiculares, sus módulos valen la unidad  ( / i /  = 1 ;  / j /  = 1 ;  / k /  = 1).

Esta base formada por los vectores  i ,   j ,   k  suele denominarse también base canónica, y es la base en la que suele trabajarse más habitualmente.

Así, recordando el concepto de coseno director visto en el apartado 3 anterior, cualquier vector unitario del espacio se podrá expresar en función de la base ortonomal o base canónica, como:

uv  = cos α ·i  + cos β ·j  + cos γ ·k

Pudiéndose comprobar, aplicando el Teorema de Pitágoras, que el módulo del vector  uv  vale la unidad  ( / uv /  = 1 ).

Y de la misma forma, cualquier otro vector  v  del espacio, se podrá expresar también en función de sus componentes y de los vectores de la base ortonormal como:

v  = vx ·i  + vy ·j  + vz ·k     donde   vx  ;  vy  ;  vz   son las componentes del vector sobre los ejes X, Y, Z, respectivamente.

7- Operaciones con vectores

7.1- Suma y resta de vectores

Supongamos dos vectores  u  y  v  expresados en forma analítica en función de sus componentes o coordenadas cartesianas sobre los ejes X, Y, Z:

u  = ( ux , uy , uz ) = ux ·i  + uy ·j  + uz ·k      ;       v  = ( vx , vy , vz ) = vx ·i  + vy ·j  + vz ·k

Pues bien, se define la suma de los vectores  u  y  v  como el vector que se obtiene de sumar las coordenadas semejantes:

u + v  = ( ux , uy , uz ) + ( vx , vy , vz ) = ( ux + vx , uy + vy , uz + vz ) = ( ux + vxi  + ( uy + vyj  + ( uz + vzk

•  Ejemplo:  Sean los vectores  u  = ( 2 , -1 , 5 )  y  v  = ( 1, 3 , 2 )  , se trata de determinar su suma vectorial:

u + v  = ( 2 , -1 , 5 ) + ( 1, 3 , 2 ) = ( 2 + 1 , -1 + 3 , 5 + 2 ) = 3·i  + 2·j  + 7·k

Para sumar geométricamente dos vectores  u  y  v  se deberá situar geométricamente uno de ellos a continuación del otro, como se indica en la figura siguiente:

Suma geométrica de vectores

Se puede observar en la figura anterior, que cuando los vectores que se suman no tienen la misma dirección, el vector resultante de su suma coincide con la diagonal del paralelogramo que forman  u  y  v

Por otro lado, se define la resta de los vectores  u  y  v  como el vector que se obtiene de restar a las coordenadas del primero, las coordenadas semejantes del segundo vector:

u - v  = ( ux , uy , uz ) - ( vx , vy , vz ) = ( ux - vx , uy - vy , uz - vz ) = ( ux - vxi  + ( uy - vyj  + ( uz - vzk

•  Ejemplo:  Sean los vectores  u  = ( 2 , -1 , 5 )  y  v  = ( 1, 3 , 2 )  , se trata de determinar su resta vectorial:

u - v  = ( 2 , -1 , 5 ) - ( 1, 3 , 2 ) = ( 2 - 1 , -1 - 3 , 5 - 2 ) = 1·i  - 4·j  + 3·k

Para restar geométricamente dos vectores  u - v  se le suma a  u  el opuesto de  v  y se procede a realizar la suma geométricamente como se ha explicado antes:

Resta geométrica de vectores

Se puede observar en este caso que el vector  u - v  es el vector que une el extremo del segundo con el extremo del primero.

 

7.2- Producto de un escalar por un vector

Se define el producto de un escalar " k " por un vector  u  (se representa como  k · u ), como el vector resultante que se obtiene de multiplicar cada una de sus coordenadas por el escalar:

k · u  = k · ( ux , uy , uz ) = ( k · ux , k · uy , k · uz ) = k · ux ·i  + k · uy ·j  + k · uz ·k

•  Ejemplo:  Sea el vector  u  = ( 2 , -1 , 5 )  y el escalar k = 3,  se trata de determinar el vector resultante de multiplicar el escalar por el vector:

3 · u  = 3 · ( 2 , -1 , 5 ) = ( 6 , -3 , 15 ) = 6 ·i  - 3 ·j  + 15 ·k

A continuación, se va a analizar la interpretación geométrica de la operación resultante del producto de un escalar por un vector.

En efecto, se ha definido el producto de un escalar por un vector, como el producto del número real " k " por el vector  u . Como ya se ha indicado, se representa por  k · u  y el resultado es un nuevo vector que tiene las siguientes características:

-  Dirección:  la misma que  u

-  Sentido:  el mismo que  u , si el escalar es positivo (+), y de sentido contrario a  u , si el escalar es negativo (-).

-  Módulo:  el módulo del nuevo vector es el valor absoluto del resultado de multiplicar el escalar " k " por el módulo de  u :

   / k · u / = / k / · / u /

Producto de un escalar por un vector

 

7.3- Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores del espacio  u  y  v  (se representa como  u · v ), es un escalar que se obtiene de multiplicar las coordenadas semejantes de ambos vectores y sumar los resultados:

u · v  =  ( ux , uy , uz ) · ( vx , vy , vz )  =  ux · vx + uy · vy + uz · vz

La anterior expresión es la forma analítica de calcular el producto escalar de dos vectores.

•  Ejemplo:  Sean los vectores  u  = ( 2 , -1 , 3 )  ;  v  = ( -3 , 2 , 5 ) ,  se trata de determinar analíticamente el resultado del producto escalar entre ambos vectores:

u · v  =  ( 2 , -1 , 3 ) · ( -3 , 2 , 5 )  =  2 · (-3) + (-1) · 2 + 3 · 5  =  7

- Definición geométrica del producto escalar de dos vectores:

Otra forma de calcular el producto escalar de dos vectores es aplicando su definición geométrica. Geométricamente el producto escalar de dos vectores  u · v , es un escalar que se se obtiene de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

u · v  = / u / · / v / · cos ( u , v )

Evidentemente, tanto si se aplica la definición geométrica como la analítica del producto escalar, el resultado es el mismo.

De la definición geométrica anterior se deduce que el producto escalar de dos vectores puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo del valor del coseno del ángulo que forman ambos vectores:

- Si el ángulo que forman los vectores es agudo, es decir, su coseno es positivo (cos (u,v) > 0) el producto escalar es positivo, mientras que si el ángulo es obtuso (cos (u,v) < 0), el producto escalar es negativo.

- Si los vectores son perpendiculares, su producto escalar es 0, puesto que cos(90º)=0. Esta propiedad sirve para usarla como CRITERIO DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS VECTORES.

Producto escalar de dos vectores

Otra propiedad importante del producto escalar, es que si se multiplica escalarmente un vector por sí mismo, se obtiene una expresión que permite calcular el módulo del vector a partir de sus coordenadas:

u · u  = / u / · / u / · cos ( u , u )  = / u / 2 · cos ( 0º )  = / u / 2 · 1    →    u /  =  u · u

•  Ejemplo:  Sea el siguiente vector  u  = ( 2 , 3 , 6 ) , se trataría de determinar su módulo aplicando la definición del producto escalar entre vectores:

u / =  u · u =  ( ux , uy , uz ) · ( ux , uy , uz ) =  ( 2, 3, 6 ) · ( 2, 3, 6 )  =  2·2 + 3·3 + 6·6 =  49 = 7

Otra propiedad importante del producto escalar entre vectores, es que si se conoce el módulo de los dos vectores y el valor de su producto escalar, se puede calcular el ángulo que forman dichos vectores.

En efecto, si se parte de la expresión geométrica que define el producto escalar entre dos vectores:

u · v  = / u / · / v / · cos ( u , v )

Despejando de la expresión anterior, se puede obtener el coseno del ángulo que forman los dos vectores:

 

 u · v 

 

cos ( u , v )  =  


 

 

 / u / · / v / 

 


•  Ejemplo:  Sean los vectores  u  = ( 3 , -1 , 0 )  ;  v  = ( -3 , 1 , 0 ) ,  se trata de determinar el ángulo que forman ambos vectores aplicando la definición geométrica del producto escalar:

En primer lugar se calcula, aplicando la definición analítica, el valor del producto escalar de los dos vectores  u · v :

u · v  =  ( 3 , -1 , 0 ) · ( -3 , 1 , 0 )  =  3 · (-3) + (-1) · 1 + 0 · 0  =  -10

A continuación se calcula el valor de los módulos de los dos vectores  u  y   v:

/ u /  =  ux2 + uy2 + uz2  =  32 + (-1)2 + 02  =  10

/ v /  =  vx2 + vy2 + vz2  =  (-3)2 + 12 + 02  =  10

Y ahora se aplica la expresión antes vista para calcular el coseno del ángulo  α  que forman los dos vectores:

 

 - 10 

 

cos (α)  =  cos ( u , v )  =  


 

 

  10 ·  10 

 


De donde se obtiene que   cos (α) = - 1.

Luego el valor del ángulo  α  que forman los vectores  u  y  v  se obtendrá mediante la función inversa del coseno, es decir, el arcocoseno, por lo que finalmente resulta:

α = arc cos (-1) = 180º

Otras propiedades interesantes del producto escalar que conviene conocer son:

-  La propiedad conmutativa:  u · v  =  v · u

-  La propiedad distributiva:  u · ( v + w )   =   u · v  +  u · w

-  Si  λ  es un número distinto de cero, entonces se cumple que:  λ·(u · v )  =  ( λ·u ) · v  =  u · ( λ·v ).

-  Multiplicación por el vector:  0  = ( 0, 0, 0 )  ;  u · 0  =  0

-  Para todo vector:  u  ≠ 0  se tiene que  u · u  > 0  . Es evidente que cualquiera que sean las componentes del vector  u, positivas o negativas, el producto escalar  u · u  siempre será un número positivo, dado que  u · u  =  ux2 + uy2 + uz2  > 0.

Proyección de un vector sobre la dirección de otro vector

Proyección de un vector sobre la dirección de otro vector : en la figura adjunta se hayan dibujados dos vectores  v  y  w  y la proyección del vector  v  sobre  w.

Se llamará  vw  a la proyección del vector  v  sobre  w. Entonces se tiene que el triángulo rectángulo que se forma con  v  y su proyección sobre  w  cumple con:  vw  =  cosα · / v /.

En la expresión del producto escalar  v · w  = / v / · / w / · cos α , el factor  " / v / · cos α "  precisamente es la proyección de  v  sobre  w  ( vw ), luego:

v · w  = / v / · / w / · cos α = / w / · proyección de  v  sobre  w  , de donde se tiene que:

 

 v · w 

 

 proyección de  v  sobre  w  =   vw   =  


 

 

 / w / 

 


 

7.4- Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores del espacio  u  y  v  (se representa como  uv  o bien como  u x v ), es un nuevo vector, cuyas componentes se obtienen analíticamente de la siguiente manera:

uv  =  ( ux , uy , uz ) ∧ ( vx , vy , vz )  =  ( uy·vz - uz·vyi  - ( ux·vz - uz·vxj  + ( ux·vy - uy·vxk

•  Ejemplo:  Sean los vectores  u  = ( 1, 2, 3 )  ;  v  = ( -1, 1, 2 ) ,  se trata de determinar analíticamente el resultado del producto vectorial entre ambos vectores:

uv  =  ( 1, 2, 3 ) ∧ ( -1, 1, 2 )  =  ( 2·2 - 3·1)·i  - ( 1·2 - 3·(-1))·j  + ( 1·1 - 2·(-1))·k  =  i  - 5·j  + 3·k

Analíticamente, el producto vectorial entre vectores también se puede expresar mediante un determinante:

Producto vectorial de dos vectores

•  Ejemplo:  Sean los vectores  u  = ( 1, 2, 3 )  ;  v  = ( -1, 1, 2 ) ,  se trata de determinar el producto vectorial entre ambos vectores usando determinantes:

Ejemplo de producto vectorial de dos vectores usando determinantes

- Definición geométrica del producto vectorial de dos vectores:

Otra forma de calcular el producto vectorial de dos vectores es aplicando su definición geométrica. Geométricamente el producto vectorial de dos vectores  u  y  v  resulta, como se ha dicho, un nuevo vector con las siguientes características:

•  Módulo: es el producto del módulo de los vectores que se multiplican por el seno del ángulo que forman ambos vectores.

uv / = / u / · / v / · sen ( u , v )

•  Dirección: perpendicular a los vectores  u  y  v , es decir, perpendicular al plano que contiene a los vectores  u  y  v.

•  Sentido: según lo indicado por la "regla del sacacorchos", es decir, el sentido de avance de un tornillo al hacer girar el primer vector hacia el segundo por el camino más corto.

Interpretación geométrica del producto vectorial de dos vectores

De la definición geométrica anterior del producto vectorial se puede deducir lo siguiente:

-  Si los vectores  u  y  v  son paralelos, entonces su producto vectorial es nulo, ya que los vectores formarían entre sí un ángulo de 0º (si son paralelos y del mismo sentido) ó 180º (si son paralelos y de sentido contrario), y en ambos casos, el seno vale cero (0), por lo que el valor final del producto vectorial también es cero:  / uv / = / u / · / v / · sen ( 0º ) = 0.

-  Si los vectores son perpendiculares el valor de su producto vectorial es máximo, ya que los vectores  u  y  v  formarían un ángulo de 90º y su seno vale 1.

-  El producto vectorial de dos vectores es anticonmutativa, es decir, se cumple que   uv =  - vu , como se aprecia en la figura anterior.

-  En el producto vectorial se cumple la propiedad distributiva, es decir, que   u ∧ ( v + w )  =  uv + uw

-  Si  λ  es un escalar, entonces se cumple que  λ·(uv )  =  ( λ·u ) ∧ v =  u ∧ ( λ·v ).

-  El vector resultante del producto vectorial  uv  es perpendicular a  u  y también a  v .

Por ejemplo, sean los vectores  u  = ( 3, -1, 1 )  ;  v  = ( 1, 1, 1 ) ,  se trata de determinar el producto vectorial de ambos vectores, y comprobar que el vector resultante es ortogonal a  u  y también a  v .

En primer lugar se calcula el vector producto vectorial de  uv :

uv  =  ( 3, -1, 1 ) ∧ ( 1, 1, 1 )  =  ( -1·1 - 1·1)·i  - ( 3·1 - 1·1)·j  + ( 3·1 - (-1)·1)·k  =  -2·i  - 2·j  + 4·k

Ahora se comprueba que el vector resultante es perpendicular al vector  u , es decir, que  ( uv ) ⊥ u. Como se vio del apartado anterior, el criterio de perpendicularidad de dos vectores es que su producto escalar sea cero, es decir, que debe cumplirse que  ( uv ) · u  =  0.

( uv ) · u  =  ( -2, -2, 4 ) · ( 3, -1, 1 )  =  (-2)·3 + (-2)·(-1) + 4·1  =  0

Por último, también se comprueba que el vector resultante es perpendicular al otro vector  v , es decir, que  ( uv ) ⊥ v. Aplicando de nuevo el criterio de perpendicularidad  ( uv ) · v  =  0, se tiene que:

( uv ) · v  =  ( -2, -2, 4 ) · ( 1, 1, 1 )  =  (-2)·1 + (-2)·1 + 4·1  =  0

Área de un paralelogramo

Área del paralelogramo: según se ve en la figura adjunta, el área del paralelogramo cuyos lados lo forman los vectores  v  y  w  es igual al módulo de su producto vectorial. En efecto:

Área paralelogramo  =  base · altura  =  / v / · h  =  / v / · / w / · sen α  =  / vw /

Una aplicación de lo anterior es poder calcular el área de un triángulo aplicando también la definición del producto vectorial.

En efecto, como resulta que todo paralelogramo se puede convertir en dos triángulos iguales al trazar una diagonal entre vértices no consecutivos, entonces se puede emplear la fórmula anterior para calcular áreas de triángulos cuando se conocen los vectores que constituyen sus lados.

Área triángulo  =  1/2 · Área paralelogramo de lados  v  y  w  =  1/2 · / vw /

 

7.5- Producto mixto de tres vectores

Se llama producto mixto de tres vectores del espacio  v  ,  w  y  t  —  se representa como  [ v , w  , t ]  —  al número real que se obtiene como resultado de realizar la operación:  v · ( w x t ).

Así se tiene que, sean tres vectores del espacio  v  = ( vx , vy , vz )  ,  w  = ( wx , wy , wz )  y  t  = ( tx , ty , tz ) , se puede comprobar que el producto mixto  v · ( w x t )  es igual igual a un determinante de orden tres, cuyas filas están constituidas por las coordenadas de los vectores. Luego:

Producto mixto de tres vectores

Al definirse el producto mixto de tres vectores igual a un determinante de orden tres, con las filas constituidas por las coordenadas de los vectores, se pueden trasladar las propiedades de los determinantes al producto mixto. Así se tiene que:

-  Si se permuta la posición de dos vectores en el producto mixto, éste cambia de signo:  [ v , w  , t ]  =  - [ t , w  , v ]

-  Si se multiplica un vector por un número, el producto mixto queda multiplicado por ese número:  [ k·v , w  , t ]  =  k·[ v , w  , t ]

-  Otra propiedad del producto mixto es que si se expresa un vector como suma de otros dos, el producto mixto es igual a la suma de dos productos mixtos:  [ u + v , w  , t ] =  [ u , w  , t ]  +  [ v , w  , t ]

•  Ejemplo:  Sean los vectores  v  = ( -2, 1, -1 )  ;  w  = ( 1, 3, 0 )  y  t  = ( 2, 1, 1 )   se trata de determinar su producto mixto:

Ejemplo de cálculo del producto mixto de tres vectores

- Interpretación geométrica del producto mixto:

Como se muestra en la fugura adjunta, si sobre un punto  P  se llevan los vectores  v  ,  w  y  t  resulta un paralelepípedo cuyas aristas son los tres vectores.

Interpretación geométrica del producto mixto

Por otro lado, según la propia definición de producto mixto se tiene que:

v · ( w x t )  =  / v / · / w x t / · cos β , aplicando la definición de producto escalar y siendo  β  el ángulo que forman los vectores  v  y  ( w x t ).

Por otro lado, y según la figura adjunta, se tiene que  / v / · cos β  es la altura  h , del paralelepípedo, ya que  / v / · cos β  es la proyección del vector v  sobre ( w x t ).

Por tanto se tiene que:

v · ( w x t )  =  / v / · / w x t / · cos β  =  h · / w x t /  por lo que se deduce finalmente que:

h · / w x t /  =  altura del paralelepípedo · área del paralelogramo de la base  =  Volumen del paralelepípedo.

Por tanto, se puede afirmar que el valor absoluto del producto mixto de los vectores  v  ,  w  y  t  es igual al volumen del paralelepípedo que tiene de aristas  v  ,  w  y  t .

Una interpretación geométrica interesante del producto mixto es que para que tres vectores constituyan las aristas de un paralelepípedo es indispensable que sean linealmente independientes, y esto equivale a que no sean coplanarios, ya que cuando son coplanarios entonces el volumen del paralelepípedo es cero.

Luego si  [ v , w  , t ]  =  v · ( w x t )  =  det ( v , w  , t )  =  0, los vectores  ( v , w  , t )  son coplanarios. Es otra forma de decir que el determinante de una matriz de orden tres es cero si las filas o las columnas son linealmente dependientes.

 

7.6- Derivada de un vector

La derivada de un vector es otro vector que se obtiene de derivar cada una de sus coordenadas, denotándose de la siguiente manera:

v  = vx · i  + vy · j  + vz · k    →    v '  = v 'x · i  + v 'y · j  + v 'z · k

Una aplicación común de lo anterior es el cálculo del vector velocidad instantánea, que es el vector que indica la velocidad de una partícula en cualquier instante de tiempo, y que se calcula derivando respecto al tiempo el vector de posición instantáneo de la partícula.

En efecto, sea  r(t)  = x(t) · i  + y(t) · j  + z(t) · k   el vector de posición instantáneo que marca las coordenadas (x, y, z) de una partícula en cada instante de tiempo " t " con respecto a un origen de coordenas que se toma como sistema de referencia.

Pues bien, el vector velocidad instantánea  v(t)  se calculará derivando con respecto al tiempo el vector de posición instantáneo. Es decir que:

v(t)  =  r '(t)  = x'(t) · i  + y'(t) · j  + z'(t) · k  =  vx · i  + vy · j  + vz · k

•  Ejemplo:  Sea  r(t)  =  t2 · i  + 3t · j  + 2 · k   (metros)  la expresión del vector de posición instantáneo de una partícula.

Así, por ejemplo, para t = 2 segundos, la partícula tendrá la posición marcada por las coordenadas en ese instante:

r (t=2)  =  22 · i  + 3·2 · j  + 2 · k   = ( 4, 6, 2 ) metros.

Para calcular el vector velocidad instantánea  v(t)  se deriva con respecto al tiempo el vector de posición instantáneo:

v(t)  =  r '(t)  =  (t2)' · i  + (3t)' · j  + (2)' · k  =  2t·i  + 3·j   metros/segundo.

Así, por ejemplo, para t = 2 segundos, la partícula tendrá una velocidad instantánea de:

v(t=2)  =  2·2·i  + 3·j  =  4·i  + 3·j   metros/segundo.

8- Momento de un vector

8.1- Momento de un vector respecto a un punto

Sea contenido en un plano un punto  P  de coordenadas ( px , py , pz ), y el vector  r  su vector de posición que tendrá su origen en el origen de coordenadas  O  y como extremo el punto dado,  r  =  px · i  + py · j  + pz · k .

Momento de un vector respecto a un punto

A continuación, considérese un vector  v  cuyo punto de aplicación es el extremo del vector  r  y que forma un ángulo  α  con éste.

Pues bien, se define el momento del vector  v  con respecto al punto O  como el producto vectorial:

Mo  =  rv

Como se trata de un producto vectorial, el momento  Mo  que resulta es otro vector con origen en el punto O, y que tiene las siguientes características:

•  Módulo: el módulo del vector momento resulta ser  / Mo /  =  / rv /  =  / r / · / v / · sen ( α )

•  Dirección: el vector  Mo  resulta perpendicular al plano que contiene a los dos vectores  r  y  v

•  Sentido: el de aplicar la regla del sacacorchos, también llamada la regla de la mano derecha. Así, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la derecha" (en el sentido de la agujas de un reloj) el sacacorchos o el tornillo "avanza" y viceversa, es decir, cuando se hace girar un sacacorchos o un tornillo "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), el sacacorchos o el tornillo "retroceden".

Recordar que, para el cálculo del producto vectorial, también se puede utilizar su expresión analítica en forma de determinante de una matriz de orden 3 cuyas filas están formadas por las componentes de los vectores  r  y  v, procedimiento que resulta especialmente útil cuando se conocen las componentes cartesianas de cada vector.

Cálculo del momento de un vector respecto a un punto

•  Ejemplo:  En primer lugar se trata de determinar el momento de un vector  v =  6·i  -  3·j  +  4·k  respecto al origen de coordenadas  O:(0, 0, 0), sabiendo que el vector de posición del punto de aplicación de dicho vector respecto a ese mismo origen es  r  =  -3·i  -  6·j  +  3·k . Posteriormente, en segundo lugar se calculará el momento del vector  v  pero respecto a otro punto distinto P de coordenadas P:( 1, 1, 1 ).

Para la resolución de la primera parte del problema sólo es necesario aplicar la expresión del momento de un vector respecto a un punto O:

Mo  =  rv  =  ( ry·vz - rz·vyi  - ( rx·vz - rz·vxj  + ( rx·vy - ry·vxk  =  (-6·4 - 3·-3)·i  - (-3·4 - 3·6)·j  + (-3·-3 - (-6)·6)·k  =

=  -15·i  + 30·j  + 45·k

O bien, este cálculo también se puede realizar aplicando la expresión del determinante, según se indica en la siguiente figura:

Ejemplo de cálculo del momento de un vector respecto a un punto

-  A continuación, y como segunda parte del ejercicio, se va a calcular el momento del vector  v  respecto a otro punto P de coordenadas ( 1, 1, 1 ):

En primer lugar habrá que determinar las coordenadas del vector de posición de  v  respecto a ese punto P con respecto al cual se quiere determinar el nuevo momento. A este vector de posición se le denominará  rvp .

Por geometría se cumple que:

rvp  =  r  -  p  , donde  r  es el vector de posición del vector  v  con respecto al origen de coordenadas y  p  son las componentes del vector de posición del punto P con respecto al origen de coordenas.

El vector  r  es ya conocido y está dado en el enunciado del ejercicio:  r =  - 3·i  - 6·j  + 3·k

Y las componentes del vector de posición del punto P de coordenadas (1, 1, 1) son   p  =  i  + j  + k

Luego, se tiene que:

rvp  =  r  -  p  =  - 3·i  - 6·j  + 3·k  -  ( i  + j  + k  )  =  - 4·i  - 7·j  + 2·k

Finalmente, se tiene que el valor del momento del vector  v  respecto al punto P resulta:

M p  =  rvpv  =  ( -4, -7, 2 ) ∧ ( 6, -3, 4 )  =  - 22·i  + 28·j  + 54·k

Para calcular este momento también se podría haber aplicado la expresión del cálculo del determinante anteriormente vista, según se indica en la siguiente figura:

Ejemplo de cálculo del momento de un vector respecto a un punto

—  Teorema de Varignon  —

El momento respecto de un punto O de la suma de varios vectores aplicados en ese mismo punto (es decir, son concurrentes), es igual a la suma de sus momentos respectivos con respecto del punto O. En realidad se trata de la aplicación de la propiedad distributiva del producto vectorial.

Así, para el caso del momento de un vector  v , este momento se puede descomponer en la suma de los momentos de cada una de las componentes de dicho vector  v. Así, expresado en coordenadas cartesianas, quedaría de la siguiente manera:

Mo  =  rv  =  rvx · i  +  rvy · j  +  rvz · k

 

8.2- Momento de un vector respecto a un eje

Se define el momento de un vector  v  respecto a un eje  " e "  al valor escalar que resulta de proyectar sobre dicho eje el momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje. En la mayoría de las ocasiones, y por simplicidad, se suele elegir el punto del eje más próximo al punto de aplicación del vector  v  para calcular el momento respecto al eje.

Momento de un vector respecto a un eje

A este momento también se le conoce como momento de un vector respecto a una recta o "momento áxico". La expresión matemática que permite su cálculo es la siguiente:

Me  =  ( rv ) · ue  =  Mo · ue  =  / Mo / · / ue / · cos α

donde,

Me  es el valor del momento del vector  v  respecto al eje  " e ". Resulta, como se ha dicho, ser un escalar.

r   es el vector de posición del punto de aplicación del vector  v  respecto de un punto cualquiera del eje  " e ". Como ya se ha indicado, por comodidad se suele tomar el punto del eje que resulte estar más próximo al origen del vector  v .

v   es el vector del que se va a calcular su momento.

ue   es el vector unitario en la dirección del eje  " e ", y por tanto su módulo vale la unidad, / ue / = 1.

Mo   es el vector momento del vector  v  con respecto a un punto "O" considerado del eje  " e ". Resaltar que  Mo  es un vector perpendicular al plano definido por los vectores  v  y  r , según se ha visto en el apartado anterior donde se ha definifo el momento de un vector respecto a un punto.

α   es el ángulo formado por el vector  Mo  y la dirección del eje  " e ".

El momento de un vector respecto a un eje, al estar definido a partir de un producto escalar ( Me = Mo · ue ), resulta ser un escalar de valor la magnitud de la proyección respecto al eje del momento del vector:

Me  =  Mo · ue  =  / Mo / · / ue / · cos α  =  / Mo / · 1 · cos α  =  / Mo / · cos α

No obstante, en ocasiones se emplea el mismo nombre para referirse a la magnitud escalar y a una vectorial (correspondiente al vector proyección respecto a dicho eje). Resulta evidente comprobar que dicho vector tiene como módulo el valor del momento del vector respecto al eje y como dirección la que marca el eje. La expresión en este caso vendría dada por:

Me  =  Me · ue  =  / Mo / · cos α · ue  

Es importante resaltar que se puede elegir cualquier punto "O" del eje como referencia para calcular  Mo , dado que el resultado final del valor del momento  Me  respecto al eje será, en todo caso, el mismo. Por tanto, el valor del momento de un vector respecto a un eje es independiente del punto elegido sobre el eje sobre el cual calcular el momento.

•  Ejemplo:  Se trata de determinar el momento del vector  v =  i  +  2·j   respecto al Eje X del sistema de coordenadas cartesianas, sabiendo que el vector de posición del punto de aplicación de dicho vector respecto al origen es  r  =  2·i  + j  + k .

Para calcular el momento del vector  v  con respecto al Eje X, en primer lugar se calculará el momento del vector  v  con respecto a cualquier punto de dicho eje X, y posteriormente se proyectará dicho momento sobre el propio eje a través del producto escalar.

Dado que el valor del momento de un vector respecto a un eje es independiente del punto elegido sobre el eje, se tomará el origen de coordenadas como el punto "O" del eje X sobre el cual se calculará el momento, por ser precisamente  r  el vector de posición de  v :

Mo  =  rv  =  ( 2, 1, 1 ) ∧ ( 1, 2, 0 )  =  - 2·i  + j  + 3·k

Efectivamente, recordando del apartado 7.4 anterior, se tiene que la expresión del producto vectorial de dos vectores resulta ser:

rv  =  ( 2, 1, 1 ) ∧ ( 1, 2, 0 )  =  ( 1·0 - 1·2)·i  - ( 2·0 - 1·1)·j  + ( 2·2 - 1·1)·k  =  - 2·i  + j  + 3·k

Finalmente, el momento del vector v  respecto al Eje X se obtiene proyectando sobre el propio eje el momento calculado Mo, sabiendo que, en el caso del eje X,  ue = i

Me  =  Mo · ue  =  ( - 2·i  + j  + 3·k ) · ( i )  =  - 2

9- Momento de un par de vectores

Para calcular el momento de un par de vectores debe definirse en primer lugar qué se entiende por par de vectores. Un par de vectores, o simplemente un par, son dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección, sentidos contrarios y no son colineales, es decir, que están aplicados en puntos distintos y por tanto son paralelos entre sí.

Momento de un par de vectores

En efecto, sea el par de vectores  v  y  - v  que se muestra en la figura adjunta. Se define entonces el momento del par de vectores como:

Mo  =  rv

Se puede comprobar que el momento de un par es un vector perpendicular al plano definido por las rectas de acción del par de vectores y su sentido cumple con la regla del sacacorchos o de la mano derecha. El módulo o magnitud del momento del par vendrá dado por:

Mo /  =  / rv /  =  / r / · / v / · sen α  =  / v / · d

Siendo  d  la distancia entre las líneas de acción de ambos vectores que conforman el par. En ocasiones, a la distancia  d  se le suele denominar "brazo del par".

Es importante anotar que el momento del par es independiente del origen de coordenadas puesto que  r   lo es. Por este motivo se dice que el momento de un par de vectores es un vector libre.

Así, en la figura anterior se ha representado un par de vectores, siendo los vectores  r1  y  r2  los vectores de posición de dos puntos sobre sus respectivas líneas de acción.

En este sentido, el momento con respecto al origen " O " del par de vectores será:

Mo  =  r1v  +  r2 ∧ ( - v )  =  ( r1 -  r2 ) ∧ v  =  rv

Que resulta independiente del origen de coordenadas del sistema de referencia elegido.

 

 

 

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