- Tutorial nº 15 -

Cálculo del Momento Resistente
o Módulo Resistente

Índice de contenidos:

1- Conceptos previos

1.1- Ecuación de resistencia a flexión

1.2- Fórmula del momento resistente

1.3- Eje neutro de la sección

1.4- Momento de inercia de la sección. Teorema de Steiner

2- Ejemplos de cálculo del Momento Resistente

2.1- Caso práctico 1: momento resistente de un perfil simple

2.2- Caso práctico 2: momento resistente de un perfil reforzado

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DESARROLLO DEL CONTENIDO

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1- Conceptos previos

1.1- Ecuación de resistencia a flexión

En este tutorial se va a aprender a calcular el momento resistente, también conocido como módulo resistente a flexión (W_x). El momento resistente o módulo resistente es una característica geométrica que se necesita saber su valor, por ejemplo, en el cálculo y comprobación de la resistencia mecánica de cualquier perfil estructural.

Como magnitud puramente geométrica, el módulo resistente depende exclusivamente de la forma y dimensiones que tenga la sección transversal del perfil estructural que se esté calculando.

Entre las numerosas situaciones que se pueda plantear la necesidad de tener que calcular el momento resistente de la sección de un perfil estructural está, por ejemplo, la aplicación al caso particular de las reformas de importancia en vehículos, y concretamente, el cálculo del valor del momento resistente de la sección transversal del perfil estructural que conforma el bastidor.

En efecto, como se sabe de otros tutoriales, el bastidor es el elemento portante de todo vehículo y está formado principalmente por dos largueros de acero situados longitudinalmente a lo largo del vehículo, generalmente con perfil de sección transversal en forma de " [ ", que se encargan de recibir todo el peso de la carrocería y la carga del vehículo.

Cuando se realiza la reforma de un vehículo, por ejemplo, la instalación de una caja de carga, la nueva carrocería instalada se apoya sobre el bastidor del vehículo, que se suele reforzar con otro perfil adicional (sobrebastidor auxiliar o falso bastidor) montado sobre el bastidor original de fábrica con la que viene equipado el vehículo.

Por tanto, esta nueva superestructura de refuerzo (sobrebastidor auxiliar o falso bastidor) se montará sobre el bastidor original del vehículo, de manera que los largueros del falso bastidor se ajusten perfectamente sobre los perfiles del bastidor original en toda su longitud, conformando finalmente la estructura del bastidor del vehículo.

El peso de la caja de carga instalada va a flexionar el perfil del bastidor del vehículo, al estar éste sometido a fuerzas perpendiculares a su eje longitudinal, debido al peso propio de la caja instalada, además del peso de la carga o mercancía que pueda transportar. Este peso va a originar a lo largo del bastidor una distribución de esfuerzos flectores, también llamado momento flector (M), que va a hacer que flexione el perfil que conforma la estructura portante del vehículo.

Como se sabe de los cursos de resistencia de materiales, esta flexión va a generar unos niveles de tensiones internos en la sección del perfil, que van a ser tensiones de tracción en la parte superior y de compresión en la parte inferior de la sección, existiendo una zona de la sección del perfil donde las tensiones van a ser nulas, que se corresponde con el denominado eje neutro de la sección del perfil.

El valor de esta tensión normal de trabajo o tensión de flexión (σ_f) debida al momento flector (M), viene calculada por la siguiente ecuación de resistencia a flexión:

donde,

M  es el valor del momento flector en el punto del bastidor que se esté considerando

W_x  es el módulo o momento resistente a flexión de la sección transversal del perfil que conforma el bastidor.

Así pues, el concepto de módulo o momento resistente (W_x), objeto de cálculo de este tutorial, aparece en la ecuación de resistencia a flexión, que se utiliza para calcular los niveles de tensiones que se alcanzan en un perfil estructural.

Por tanto, para conocer el nivel de tensiones (σ_f) que se está generando en la sección del perfil, se hace necesario calcular previamente el valor del momento resistente (W_x) respecto al eje  x-x  neutro de la sección, que es el eje de flexión del perfil que conforma el bastidor del vehículo.

 

1.2- Fórmula del momento resistente

Para la determinación del momento o módulo resistente (W_x), se emplea la siguiente fórmula que permite calcular el módulo resistente a flexión de la sección de cualquier perfil estructural:

donde,

I_xx  es el momento de inercia del perfil respecto al eje x-x o eje neutro de la sección.

y_máx  es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra más alejada de la misma.

Por tanto, para calcular el momento resistente (W_x) de la sección, previamente habrá que conocer el valor de estas otras magnitudes geométricas:

•  el momento de inercia (I_xx) de la sección total del perfil, y

•  la distancia (y_máx) medida desde la posición del eje neutro de la sección a su fibra más alejada (que es la zona de la sección del perfil donde el nivel tensional es mayor).

Por tanto, el cálculo del momento resistente (W_x) de una sección exige también conocer previamente la posición del eje neutro en la sección del perfil.

 

1.3- Eje neutro de la sección

Como se ha dicho, previamente al cálculo del módulo resistente de la sección es necesario determinar la posición de su eje neutro, que es la zona de la sección donde se anula su nivel tensional, separando la parte inferior traccionada de la parte superior de la sección que estará comprimida.

Efectivamente, de la resistencia de materiales se tiene que cuando a lo largo de un perfil estructural actúa un momento flector que genera una flexión del perfil, se origina entonces una tensión interna de dirección normal a la sección transversal del perfil.

Así pues, derivado del esfuerzo flector sobre el perfil, esta flexión va a generar unos niveles de tensiones internos en la sección del perfil, que van a ser tensiones normales de tracción en la parte superior y de compresión en la parte inferior, existiendo por tanto una zona de transición en la sección del perfil donde las tensiones van a ser nulas, que se corresponde con el denominado eje neutro de la sección del perfil.

La determinación de la posición del eje neutro (del cual obtendremos el valor de ymáx) y del momento de inercia (I_xx) es fácil cuando los perfiles guardan cierta simetría en su forma respecto a sus ejes principales.

Así, un bastidor donde los perfiles de sus largueros principales sean en forma de " [ ", su eje x-x sería su eje neutro, ya que el eje x-x divide la altura del perfil en dos partes iguales, y en este caso, y_máx sería igual a h/2 (y_máx = h/2, siendo h la altura total del perfil). Es decir, que para este caso donde existe simetría en el perfil, la fibra más alejada de la sección se encuentra a una altura de h/2 del eje neutro del perfil, que coincide también con la posición de su centro de gravedad.

Pero en la mayoría de los tipos de bastidores empleados en los vehículos, éstos se refuerzan de manera que, aunque no se modifica el eje neutro y-y vertical, sí se modifica la posición del eje neutro x-x horizontal.

Así, según se muestra en los ejemplos de las figuras siguientes correspondientes a distintas formas de reforzar los perfiles de un bastidor, se observa que el eje vertical y-y sigue siendo el eje neutro, pero no así el eje x-x, sino que ahora el eje neutro horizontal sería el g-g que quedaría separado por una cierta distancia "d" del anterior.

 

1.4- Momento de inercia de la sección. Teorema de Steiner

Para la determinación del eje neutro de una sección, es necesario conocer previamente la definición de momento estático de una figura plana, y como caso general, la teoría de momento de orden "n", ya que va a ser imprescindible también la determinación del momento de inercia de la sección.

En este sentido, se define el momento de orden "n" de una figura plana, respecto de un punto, de un eje o de un plano, a la suma de los productos elementales de superficie por la distancia al punto, al eje o al plano, elevada a la potencia "n".

Mn = Σ dA · yⁿ

•  Cuando n=1, recibe el nombre de momento estático (ME):

ME = Σ dA · y

•  Cuando n=2, recibe el nombre de momento de inercia (I):

I = Σ dA · y²

-  Teorema de Steiner:

Supongamos conocido el momento de inercia de una figura plana respecto de un eje que pasa por su centro de gravedad (I_xx), entonces se tiene que el momento de inercia respecto de otro eje cualquiera paralelo al primero (I_x'x') es igual al momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de gravedad, más el producto del área de la figura por el cuadrado de la distancia entre dichos ejes.

I_x'x' = I_xx + A·d²

Y por tanto, se tiene que el momento estático del área total de una figura plana respecto de un eje distinto y paralelo al eje neutro, es igual a la suma de los momentos de cada una de las áreas elementales que componen a la figura considerada respecto al citado eje, es decir:

a · A = Σ dA · y

donde,

a  es la distancia del eje de referencia x'-x' al eje neutro

A  es el área total de la figura plana

dA  es cada área elemental que compone a la figura plana

y  es la distancia del c.d.g. de cada área elemental al eje x'-x' de referencia.

Como se verá en los ejemplos más adelante, resulta muy conveniente para el cálculo del eje neutro del perfil de un bastidor, considerar como eje de referencia el que coincide con la cota más alta y paralelo al eje x-x del perfil, es decir, a su fibra más alejada de la sección del perfil.

Y llegados a este punto ya estamos preparado para comenzar a determinar la posición del eje neutro y el cálculo del momento de inercia de cualquier sección de un perfil, como paso previo al cálculo de su momento resistente (W_x), objetivo de este tutorial.

2- Ejemplos de cálculo del Momento Resistente

2.1- Caso práctico 1: cálculo del momento resistente de un perfil simple

En este ejemplo se va a proceder a calcular el momento resistente, así como la posición del eje neutro, de un perfil con sección transversal en forma de " [ ", de dimensiones según se muestra en la figura siguiente.

Para facilitar el cálculo, se va a descomponer la sección transversal del perfil en tres áreas distintas, numeradas con 1, 2, y 3 según la figura.

En primer lugar se va a determinar la posición del eje neutro de la sección. Para ello, se calculan por separado los momentos estáticos respecto al eje x'-x' de cada una de las áreas que componen la sección:

Momento estático área 1: ME₁ = 76 · 8 · (300-(8/2)) = 179968 mm³

Momento estático del área 2: ME₂ = 8 · 284 · (300/2) = 340800 mm³

Momento estático del área 3: ME₃ = 76 · 8 · (8/2) = 2432 mm³

Por tanto, el momento estático total de la sección del perfil vale:
ME_T = ME₁ + ME₂ + ME₃ = 179968 + 340800 + 2432 = 523200 mm³

El área total de la sección del perfil es: A = 2·76·8 + 284·8 = 3488 mm²

Por tanto, según lo visto en el apartado anterior, la distancia (a) del eje neutro al eje de referencia x'-x' valdrá:

a = ME_T / A = 523200 mm³ / 3488 mm² = 150 mm.

En segundo lugar se va a determinar el momento de inercia (I_xx) de la sección respecto al eje neutro. Para ello, se calculan por separado los momentos de inercia de cada una de las áreas que componen la sección total del perfil respecto al eje neutro g-g:

Momento de inercia del área 1:  I_xx-1 = 1/12 · 76 · 8³ + 76 · 8 · (150-(8/2))² = 12963370 mm⁴

Momento de inercia del área 2:  I_xx-2 = 1/12 · 8 · 284³ + 8 · 284 · 0² = 15270869 mm⁴

Momento de inercia del área 3:  I_xx-3 = 1/12 · 76 · 8³ + 76 · 8 (150-(8/2))² = 12963370 mm⁴

Por tanto, el momento de inercia total de la sección del perfil vale:

I_xx = I_xx-1 + I_xx-2 + I_xx-3 = 12963370 + 15270869 + 12963370 = 41.197.609 mm⁴

Y según la fórmula incluida en el apartado 1.2 de este tutorial para la determinación del momento resistente (W_x), se tiene que:

donde,

I_xx  es el momento de inercia respecto al eje x-x o eje neutro de la sección, en este ejemplo de valor: I_xx = 41.197.609 mm⁴

y_máx  es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra más alejada de la misma. Para la sección del perfil de este ejemplo, dicho valor es:  y_máx = 300 - a = 300 - 150 = 150 mm.

Por tanto, finalmente sustituyendo se obtiene el valor del momento o módulo resistente (W_x) del perfil considerado para este ejemplo:

W_x = 41.197.609 mm⁴ / 150 mm = 274.650 mm³

 

2.2- Caso práctico 2: cálculo del momento resistente de un perfil reforzado

En este segundo ejemplo se va a proceder a calcular el momento resistente de un perfil reforzado, compuesto por la superposición de dos perfiles de sección en " [ ", con las dimensiones que se indican en la figura siguiente.

De nuevo, y para facilitar el cálculo, se va a descomponer la sección transversal de ambos perfiles en distintas áreas, numeradas con 1, 2, 3, 4, 5, y 6,  según se muestra en la figura.

En primer lugar se va a determinar la posición del eje neutro de la sección con respecto al eje de referencia x'-x'. Para ello, se calculan por separado los momentos estáticos respecto al eje x'-x' de cada una de las áreas que componen a la sección total:

Momento estático del área 1: ME₁ = 76 · 8 · (300+120-(8/2)) = 252928 mm³

Momento estático del área 2: ME₂ = 8 · 284 · ((300/2)+120) = 613440 mm³

Momento estático del área 3: ME₃ = 76 · 8 · ((8/2)+120) = 75392 mm³

Momento estático del área 4: ME₄ = 76 · 8 · (120-(8/2)) = 70528 mm³

Momento estático del área 5: ME₂ = 8 · (120-8-8) · (120/2) = 49920 mm³

Momento estático del área 6: ME₂ = 76 · 8 · (8/2) = 2432 mm³

Por tanto, el momento estático total de la sección del perfil vale:
ME_T = ME₁ + ME₂ + ME₃ + ME₄ + ME₅ + ME₆ = 252928 + 613440 + 75392 + 70528 + 49920 + 2432 = 1.064.640 mm³

Por otro lado, los valores de las distintas áreas en que se ha dividido el perfil completo son las siguientes:

Superficie del área 1: A₁ = 76 · 8 = 608 mm²

Superficie del área 2: A₂ = 8 · 284 = 2272 mm²

Superficie del área 3: A₃ = 76 · 8 = 608 mm²

Superficie del área 4: A₄ = 76 · 8 = 608 mm²

Superficie del área 5: A₅ = 8 · 104 = 832 mm²

Superficie del área 6: A₆ = 76 · 8 = 608 mm²

Y por tanto, el área total de la sección del perfil vale:
A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ + A₆ = 608 + 2272 + 608 + 608 + 832 + 608 = 5536 mm²

Una vez calculados los valores del momento estático y del área de la sección total del perfil completo, la distancia (a) de su eje neutro al eje de referencia x'-x' valdrá:

a = ME_T / A = 1.064.640 mm³ / 5536 mm² = 192,3 mm.

Por tanto, la distancia del eje neutro a la fibra más alejada de la sección completa valdrá:  y_máx = 420 - 192,3 = 227,7 mm.

Continuando con el procedimiento, ahora habría que determinar el momento de inercia (I_xx) de la sección completa respecto a su eje neutro.

Para ello, se calculan por separado, para cada una de las secciones de las que se componen la sección completa del perfil, sus momentos de inercia respecto al eje que pasa por su respectivo c.d.g., para una vez calculado, y aplicando STEINER, obtener su momento de inercia respecto al eje neutro de la sección completa. El momento de inercia final de la sección completa sería la suma de todos estos momentos de inercia parciales.

Así, por ejemplo, para la Sección 1 se tendría:

- Distancia del c.d.g. de la sección 1 al eje neutro:  420 - (8/2) - 192,3 = 223,7 mm.

- Momento de inercia respecto al eje que pasa por su c.d.g.:  1/12 · 76 · 8³ = 3.242 mm⁴.

- Momento de inercia respecto al eje neutro (Steiner):  3.242 + 76 · 8 · 223,7² = 30.428.589 mm⁴.

En la siguiente tabla resumen se incluyen los valores anteriores ya calculados para todas las áreas que componen a la sección total del perfil:

 

Y finalmente, empleando la fórmula incluida en el apartado 1.2 de este tutorial para la determinación del momento resistente (W_x), se tiene que:

donde,

I_xx  es el momento de inercia del perfil respecto al eje neutro de la sección, en este ejemplo de valor:  I_xx = 102.672.181 mm⁴

y_máx  es la distancia del eje neutro de la sección a la fibra más alejada de la misma, de valor:  y_máx = 227,7 mm.

Que sustituyendo los valores, se obtiene el módulo resistente (W_x) del perfil considerado:

W_x = 102.672.181 mm⁴ / 227,7 mm = 450.909 mm³

 

 

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