¿Qué es la Identidad de Euler?

 

Publicado: 04.JUN.2025

---

 

La Identidad de Euler es una de las expresiones matemáticas más célebre y, a la vez, enigmática de las matemáticas. Como dijo una vez el filósofo, matemático y profesor de Harvard del siglo XIX, Benjamin Peirce, resaltando la belleza y la misteriosa profundidad de la Identidad de Euler: "es absolutamente paradójica; no podemos entenderla y no sabemos lo que significa, pero la hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser la verdad".

Esta joya de las matemáticas es tan importante y sorprendente, porque conecta cinco de las constantes matemáticas fundamentales, mediante la siguiente igualdad:

e^iπ + 1 = 0

siendo,

e :  El número de Euler (aproximadamente 2,71828), base de los logaritmos naturales, fundamental en el análisis matemático y el cálculo.

i :  La unidad imaginaria, definida como la raíz cuadrada de -1, es la base de los números complejos. O también, el número i  se puede definir como, i² = -1.

π :  El número pi (aproximadamente 3,14159), expresa la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, esencial en geometría y trigonometría.

1 :  El elemento neutro de la multiplicación y la división.

0 :  El elemento neutro de la suma y la resta.

 

¿Por qué es tan importante la Identidad de Euler?

La importancia de la Identidad de Euler está en que es capaz, mediante una sencilla expresión, conectar áreas de las matemáticas que, a primera vista, parecen no tener relación, como son el álgebra, la trigonometría, el análisis matemático y los números complejos, en una única relación sencilla, y a la vez sorprendente.

Además, la Identidad de Euler tiene múltiples aplicaciones en ciencia y tecnología. Se suele usar en temas de ingeniería, física o en análisis de señales como, por ejemplo, en ecuaciones diferenciales, transformadas de Fourier y circuitos eléctricos.

 

¿De dónde deriva la identidad de Euler?

La Identidad de Euler es un caso particular de la Fórmula de Euler, la cual establece la siguiente relación entre funciones exponenciales y funciones trigonométricas:

e^ix = cos(x) + i·sin(x)

Donde:

e^ix  es la función exponencial compleja, siendo e  la base de los logaritmos naturales, i  la unidad imaginaria y  x  representa a un número real cualquiera.

cos(x)  es la función coseno de x

sin(x)  es la función seno de x

Para poder obtener la Identidad de Euler a partir de la Fórmula de Euler, simplemente sustituimos en la expresión anterior x  por  π, resultando:

e^iπ = cos(π) + i·sin(π)

Sabemos que:

cos(π) = -1

sin(π) = 0

Sustituyendo estos valores en la Fórmula de Euler:

e^iπ = -1 + i·(0)

O sea, como i·(0) = 0, la anterior expresión se queda simplemente como:

e^iπ = -1

Finalmente (ya estamos cerca de alcanzar nuestro objetivo), si sumamos +1 a ambos lados de la expresión anterior:

e^iπ + 1 = -1 + 1

Resultando finalmente la "magnífica" Identidad de Euler:

e^iπ + 1 = 0

 

Interpretación geométrica de la Identidad de Euler

La Fórmula de Euler  e^ix = cos(x) + i·sin(x)  puede interpretarse geométricamente en el plano complejo. Representa un número complejo en el círculo unitario (un círculo de radio 1 centrado en el origen). El número  e^ix  es el punto en el círculo unitario cuyo ángulo con respecto al eje real positivo es  x radianes.

Cuando x = π, el ángulo es de 180 grados, lo que nos lleva al punto de coordenadas (-1,0) en el plano complejo. Este punto corresponde al número complejo -1+0·i, que es simplemente -1.

Así, la Identidad de Euler nos dice que elevar  e  a la potencia  i·π  nos da como resultado -1  (e^iπ = -1), lo que nos lleva al punto de coordenadas (-1,0) en el plano complejo. Seguidamente si le sumamos +1, resulta 0, es decir, que nos lleva finalmente al punto (0,0) que es el origen de coordenadas en el plano de los números complejos.

 

 

En resumen, la Identidad de Euler es una expresión fundamental que encapsula una profunda conexión entre conceptos matemáticos aparentemente dispares. Su utilidad en numerosas disciplinas científicas y tecnológicas, unido a su elegancia conceptual, la convierte en un objeto de admiración en el mundo de las matemáticas y la ciencia.

 

 

Archivado en: / Formación y Ciencia / Identidad de Euler

Ver más artículos  >>

 

 

 

 

 

Información y consulta:

Hermenegildo Rodríguez Galbarro

info@ingemecanica.com - Tel. 646 166 055